Wyjątek obala hipotezę

Stawianie hipotez, a także próby ich udowadniania stanowiły główny przedmiot działalności wielu genialnych matematyków. Rozpatrywane kwestie teoretyczne dotyczyły działań algebraicznych, również tych, które uznawane są powszechnie za oczywiste i niepodlegające dyskusji. Jednak poszczególne wyjątki świadczą o braku poprawności poszczególnych, z pozoru niekwestionowanych zależności matematycznych. Oto kilka przykładów postawionych hipotez, które po dokonaniu rzetelnej analizy okazały się fałszywe.

1) Liczby postaci 2²ⁿ +1 zwane liczbami Fermata dla n=0, 1, 2, 3, 4 są liczbami pierwszymi.

Fermat przypuszczał, że wszystkie liczby postaci F_k = 2^2k+1, gdzie k jest liczbą całkowitą nieujemną są liczbami pierwszymi.

Wykazano, że F₅ jest liczbą złożoną, co świadczy o tym, że hipoteza postawiona przez Fermata nie znajduje potwierdzenia w praktyce.

2) W XVII w. niemiecki matematyk G.W Leibniz udowodnił, że dla każdej liczby naturalnej n
a) liczba n³ - n jest podzielna przez 3
b) liczba n⁵ - n jest podzielna przez 5
c) liczba n⁷ - n jest podzielna przez 7
Postawiona hipoteza, że liczba n^k-n jest podzielna przez k, dla dowolnej nieparzystej liczby naturalnej k, okazała się fałszywa. Liczba będąca wynikiem działania 2⁹ - 2 = 510 nie jest podzielna przez 9.

3) Ciekawą zależność dostrzeżoną przez Eulera mają liczby postaci n²+n+41, bowiem wstawiając w miejsce n kolejne liczby 1, 2, 3, 4,… otrzymujemy za każdym razem liczbę pierwszą. Nasuwa się więc hipoteza, że wszystkie liczby tej postaci są liczbami pierwszymi. Aby potwierdzić tę hipotezę należałoby ją udowodnić, natomiast w celu jej obalenia wystarczy jedynie podać kontrprzykład - otóż liczba 41²+41+41 (dla n=41) jest liczbą złożoną podzielną przez 41. Natomiast najmniejszą liczbą złożoną, która jest postaci n²+n+41, jest liczba 40²+40+41=41².

4) Kolejna nieprawdziwa teza brzmi: badając liczby postaci 991 n² + 1 przez wstawianie w miejsce n kolejnych liczb 1, 2, 3, 4,… nigdy nie otrzymamy liczby, która jest pełnym kwadratem to znaczy liczby dającej się zapisać w postaci k². Jednak założenie iż dla dowolnego n nie jest to możliwe, odnosi się jedynie do działań arytmetycznych będących w zakresie ludzkich możliwości, ponieważ dopiero przy
n=12055735790331359447442538767
otrzymamy liczbę, którą da się zapisać jako kwadrat innej liczby. W tym przypadku uprzednio postawiona hipoteza okazała się fałszywa.

Joanna Sokołowska IIa

Źródła;
https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba_pierwsza
http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/teoria_liczb/2012/03/27/Zlozony_problem_liczb_pierwszych/