30 marca 2016

Tales z Miletu - „Poznaj samego siebie!”.


Filozof, matematyk, astronom grecki i systematyk wiedzy geometrycznej. Urodził się w prowincji Jonia nad morzem Egejskim. Znane mu były zjawiska oddziaływania magnesu na żelazo, elektryzowania się bursztynu, potrafił także przewidzieć zaćmienia Słońca. Uważany jest za jednego ze starożytnych mędrców. Można uznać, że to Tales był osobą, która łącząc wiedzę praktyczną zbudowała fundamenty dzisiejszej geometrii.

Zgodnie z przekazami starożytnych, a w szczególności greckiego filozofa Proklosa, żyjącego w V w. p.n.e., Talesowi przypisuje się następujące twierdzenia geometryczne:
1. Średnica dzieli okrąg na połowy.
2. Dwa kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.
3. Kąty wierzchołkowe, powstałe na skutek przecięcia dwóch linii prostych są równe.
4. Kąt wpisany w okrąg i oparty na jego średnicy jest kątem prostym.
5. Jeżeli w dwóch trójkątach bok i przyległe do niego kąty są równe, to te trójkąty są przystające.

Twierdzenie Talesa:
Jeśli ramiona kąta przeciąć dwiema równoległymi, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.


Według legendy Tales z Miletu wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij.
Teoria jak mógł tego dokonać:
Ponieważ trójkąty OAA' i OBB' są podobne zachodzi proporcja. Znając |AA'| - długość kija, mierząc |OA| - długość jego cienia i |OB| - długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.
Prawdopodobnie Tales wykorzystał prostszy sposób - wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę.


Matematyka jednak się do czegoś przydaje, prawda?

Źródła:
http://www.math.edu.pl/
http://pl.wikipedia.org/
http://www.serwis-matematyczny.pl/
http://www.slawni-matematycy.cba.pl/
grafika google

Judyta Sewera 2a

9 marca 2016

Wyjątek obala hipotezę

Stawianie hipotez, a także próby ich udowadniania stanowiły główny przedmiot działalności wielu genialnych matematyków. Rozpatrywane kwestie teoretyczne dotyczyły działań algebraicznych, również tych, które uznawane są powszechnie za oczywiste i niepodlegające dyskusji. Jednak poszczególne wyjątki świadczą o braku poprawności poszczególnych, z pozoru niekwestionowanych zależności matematycznych. Oto kilka przykładów postawionych hipotez, które po dokonaniu rzetelnej analizy okazały się fałszywe.

1) Liczby postaci 22n +1 zwane liczbami Fermata dla n=0, 1, 2, 3, 4 są liczbami pierwszymi.

Fermat przypuszczał, że wszystkie liczby postaci Fk = 22k+1, gdzie k jest liczbą całkowitą nieujemną są liczbami pierwszymi.


Wykazano, że F5 jest liczbą złożoną, co świadczy o tym, że hipoteza postawiona przez Fermata nie znajduje potwierdzenia w praktyce.



2) W XVII w. niemiecki matematyk G.W Leibniz udowodnił, że dla każdej liczby naturalnej n
a) liczba n³ - n jest podzielna przez 3
b) liczba n⁵ - n jest podzielna przez 5
c) liczba n⁷ - n jest podzielna przez 7
Postawiona hipoteza, że liczba nk-n jest podzielna przez k, dla dowolnej nieparzystej liczby naturalnej k, okazała się fałszywa. Liczba będąca wynikiem działania 2⁹ - 2 = 510 nie jest podzielna przez 9.

3) Ciekawą zależność dostrzeżoną przez Eulera mają liczby postaci n²+n+41, bowiem wstawiając w miejsce n kolejne liczby 1, 2, 3, 4,… otrzymujemy za każdym razem liczbę pierwszą. Nasuwa się więc hipoteza, że wszystkie liczby tej postaci są liczbami pierwszymi. Aby potwierdzić tę hipotezę należałoby ją udowodnić, natomiast w celu jej obalenia wystarczy jedynie podać kontrprzykład - otóż liczba 41²+41+41 (dla n=41) jest liczbą złożoną podzielną przez 41. Natomiast najmniejszą liczbą złożoną, która jest postaci n²+n+41, jest liczba 40²+40+41=41².

4) Kolejna nieprawdziwa teza brzmi: badając liczby postaci 991 n² + 1 przez wstawianie w miejsce n kolejnych liczb 1, 2, 3, 4,… nigdy nie otrzymamy liczby, która jest pełnym kwadratem to znaczy liczby dającej się zapisać w postaci k². Jednak założenie iż dla dowolnego n nie jest to możliwe, odnosi się jedynie do działań arytmetycznych będących w zakresie ludzkich możliwości, ponieważ dopiero przy
n=12055735790331359447442538767
otrzymamy liczbę, którą da się zapisać jako kwadrat innej liczby. W tym przypadku uprzednio postawiona hipoteza okazała się fałszywa.

Joanna Sokołowska IIa

Źródła;
https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba_pierwsza
http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/teoria_liczb/2012/03/27/Zlozony_problem_liczb_pierwszych/