Diofantos, inaczej zwany
Diofantem, był matematykiem działającym w drugiej połowie III w. n.e. w
Aleksandrii. Jego głównym dziełem jest Arytmetyka,
która była wówczas pracą przełomową. Wyróżniało ją między innymi algebraiczne pojmowanie wielkości i działań
na nich.
W swoim dziele Diofantos skupia się na rozwiązywaniu
równań i układów równań algebraicznych w zbiorze dodatnich liczb wymiernych. Inne wynalazki Diofantosa to: systematyczne używanie symboli
algebraicznych, specjalne oznaczenia na niewiadomą, wprowadzenie znaku pełniącego
funkcję „=”, wprowadzenie znaku odejmowania, reguła
dodawania wyrazów podobnych oraz reguła przenoszenia składników z jednej strony równania na drugą.
Równaniem
diofantycznym nazywamy równanie algebraiczne o współczynnikach całkowitych, dla
którego rozwiązań poszukujemy wśród liczb całkowitych lub liczb naturalnych.
Zwykle
rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych. Poszukiwanie
rozwiązań wymiernych sprowadza się do znajdowania rozwiązań całkowitych.
Przykłady
równań diofantycznych:
1. Równanie diofantyczne liniowe
ax+by=c
Równanie,
dla którego a, b i c są dane jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma
rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb a i b
dzieli c.
2. Równanie z wielkiego twierdzenia
Fermata
x n+yn=zn
Dla n=2 równanie
to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym.
Francuski matematyk Pierre Fermat żyjący w XVII wieku, postawił problem odkryty
w trakcie studiowania dzieła Diofantosa dotyczący zależności dla
n >2.
Fremat odkrył, że przy tym założeniu równanie nie ma rozwiązań.
3. Równanie, które ma w liczbach
naturalnych dwa rozwiązania
xy=yx
To równie ma
w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy x=2 i y=4 (x różne od y)
oraz gdy x=4 i y =2.
4. Równanie Pella
xn-nyn=1
Równanie
nazwane w ten sposób od nazwiska angielskiego matematyka.
Zachodzi dla n>0. To
równanie nie ma rozwiązań, gdy n jest kwadratem liczby naturalnej. W przeciwnym razie, równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązanie
określa się w zależności od n.
Joanna
Sokołowska IIIa
źródła:
wikipedia.org
www.math.us.edu.pl
