Tales z Miletu - „Poznaj samego siebie!”.

Filozof, matematyk, astronom grecki i systematyk wiedzy geometrycznej. Urodził się w prowincji Jonia nad morzem Egejskim. Znane mu były zjawiska oddziaływania magnesu na żelazo, elektryzowania się bursztynu, potrafił także przewidzieć zaćmienia Słońca. Uważany jest za jednego ze starożytnych mędrców. Można uznać, że to Tales był osobą, która łącząc wiedzę praktyczną zbudowała fundamenty dzisiejszej geometrii.

Zgodnie z przekazami starożytnych, a w szczególności greckiego filozofa Proklosa, żyjącego w V w. p.n.e., Talesowi przypisuje się następujące twierdzenia geometryczne:
1. Średnica dzieli okrąg na połowy.
2. Dwa kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.
3. Kąty wierzchołkowe, powstałe na skutek przecięcia dwóch linii prostych są równe.
4. Kąt wpisany w okrąg i oparty na jego średnicy jest kątem prostym.
5. Jeżeli w dwóch trójkątach bok i przyległe do niego kąty są równe, to te trójkąty są przystające.

Twierdzenie Talesa:
Jeśli ramiona kąta przeciąć dwiema równoległymi, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Według legendy Tales z Miletu wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij.
Teoria jak mógł tego dokonać:
Ponieważ trójkąty OAA' i OBB' są podobne zachodzi proporcja. Znając |AA'| - długość kija, mierząc |OA| - długość jego cienia i |OB| - długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.
Prawdopodobnie Tales wykorzystał prostszy sposób - wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę.

Matematyka jednak się do czegoś przydaje, prawda?

Źródła:
http://www.math.edu.pl/
http://pl.wikipedia.org/
http://www.serwis-matematyczny.pl/
http://www.slawni-matematycy.cba.pl/
grafika google

Judyta Sewera 2a

Wyjątek obala hipotezę

Stawianie hipotez, a także próby ich udowadniania stanowiły główny przedmiot działalności wielu genialnych matematyków. Rozpatrywane kwestie teoretyczne dotyczyły działań algebraicznych, również tych, które uznawane są powszechnie za oczywiste i niepodlegające dyskusji. Jednak poszczególne wyjątki świadczą o braku poprawności poszczególnych, z pozoru niekwestionowanych zależności matematycznych. Oto kilka przykładów postawionych hipotez, które po dokonaniu rzetelnej analizy okazały się fałszywe.

1) Liczby postaci 2²ⁿ +1 zwane liczbami Fermata dla n=0, 1, 2, 3, 4 są liczbami pierwszymi.

Fermat przypuszczał, że wszystkie liczby postaci F_k = 2^2k+1, gdzie k jest liczbą całkowitą nieujemną są liczbami pierwszymi.

Wykazano, że F₅ jest liczbą złożoną, co świadczy o tym, że hipoteza postawiona przez Fermata nie znajduje potwierdzenia w praktyce.

2) W XVII w. niemiecki matematyk G.W Leibniz udowodnił, że dla każdej liczby naturalnej n
a) liczba n³ - n jest podzielna przez 3
b) liczba n⁵ - n jest podzielna przez 5
c) liczba n⁷ - n jest podzielna przez 7
Postawiona hipoteza, że liczba n^k-n jest podzielna przez k, dla dowolnej nieparzystej liczby naturalnej k, okazała się fałszywa. Liczba będąca wynikiem działania 2⁹ - 2 = 510 nie jest podzielna przez 9.

3) Ciekawą zależność dostrzeżoną przez Eulera mają liczby postaci n²+n+41, bowiem wstawiając w miejsce n kolejne liczby 1, 2, 3, 4,… otrzymujemy za każdym razem liczbę pierwszą. Nasuwa się więc hipoteza, że wszystkie liczby tej postaci są liczbami pierwszymi. Aby potwierdzić tę hipotezę należałoby ją udowodnić, natomiast w celu jej obalenia wystarczy jedynie podać kontrprzykład - otóż liczba 41²+41+41 (dla n=41) jest liczbą złożoną podzielną przez 41. Natomiast najmniejszą liczbą złożoną, która jest postaci n²+n+41, jest liczba 40²+40+41=41².

4) Kolejna nieprawdziwa teza brzmi: badając liczby postaci 991 n² + 1 przez wstawianie w miejsce n kolejnych liczb 1, 2, 3, 4,… nigdy nie otrzymamy liczby, która jest pełnym kwadratem to znaczy liczby dającej się zapisać w postaci k². Jednak założenie iż dla dowolnego n nie jest to możliwe, odnosi się jedynie do działań arytmetycznych będących w zakresie ludzkich możliwości, ponieważ dopiero przy
n=12055735790331359447442538767
otrzymamy liczbę, którą da się zapisać jako kwadrat innej liczby. W tym przypadku uprzednio postawiona hipoteza okazała się fałszywa.

Joanna Sokołowska IIa

Źródła;
https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba_pierwsza
http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/teoria_liczb/2012/03/27/Zlozony_problem_liczb_pierwszych/

METODA OKREŚLANIA ROKU PRZESTĘPNEGO

Obrót Ziemi wokół Słońca trwa 365 dni, 5 godzin, 48 minut i 46 sekund, czyli nieco dłużej niż zwykły rok kalendarzowy, liczący 365 dni. Aby wyrównać tę różnicę, przyjęto, że niektóre lata mają 366 dni. Nazywamy je latami przestępnymi. W roku przestępnym luty ma 29 dni.

W ten sposób można wyeliminować błąd spowodowany przez trzy normalne, lecz krótkie lata. Każdy rok, który jest podzielny przez 4 jest to rok przestępny: na przykład: 1988, 1992 i 1996 r. są przestępne.
Jednakże nadal istnieje mały błąd, który musi zostać uwzględniony. Aby wyeliminować ten błąd, kalendarz gregoriański stanowi, że rok, który daje się równo podzielić przez 100 (np. 1900) jest to rok przestępny tylko wtedy, gdy również daje się podzielić przez 400.
Z tego powodu następujące lata choć są podzielne przez 4, nie są latami przestępnymi: 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300, 2500, 2600. To dlatego, że da się je równo podzielić przez 100, ale nie są podzielne przez 400.

Następujące lata są latami przestępnymi: 1600, 2000, 2400. Jest tak, ponieważ są podzielne zarówno przez 100 jak i przez 400.

Poniżej przedstawiam krótką metodę, jak określić czy dany rok jest przestępny czy nie.

Wykonaj następujące kroki:
1. Jeśli rok jest podzielny przez 4, przejdź do kroku 2 w przeciwnym razie przejdź do kroku 5.
2. Jeśli rok jest daje się równo podzielić przez 100, przejdź do kroku 3 w przeciwnym razie przejdź do kroku 4.
3. Jeśli rok jest podzielny przez 400, przejdź do kroku 4 w przeciwnym razie przejdź do kroku 5.
4. Rok jest to rok przestępny (ma 366 dni).
5. Rok nie jest to rok przestępny (ma 365 dni).


Zuzanna Rosińska kl. I A

Stella Octangula

Podczas nauki geometrii w szkole poznajemy bryły o standardowej formie, ciekawostką jest jednak istnienie pewnych nietypowych figur geometrycznych zwanych wielościanami foremnymi lub bryłami platońskimi, ponieważ to Platon, jako pierwszy zbadał je oraz opisał. Taka figura musi spełniać trzy kryteria: ściany muszą być przystającymi wielokątami foremnymi, w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian oraz jest bryłą wypukłą. Wynikiem połączenia brył platońskich, są twory o osobliwym kształcie, a jednym z nich jest Stella Octangula. Posiada ona 36 krawędzi, 14 wierzchołków i 24 ściany będące trójkątami równobocznymi, ponadto spełnia ona dwa warunki konieczne do sklasyfikowania jej, jako wielościanu foremnego – ściany figury są przystającymi wielokątami foremnymi, a także w każdym jej wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian. Stella Octangula powstaje w wyniku odpowiedniego złączenia ze sobą dwóch czworościanów foremnych, które są najprostszą bryłą platońską, lub poprzez stellacje ośmiościanu foremnego. Proces stellacji można określić, jako "rozgwieżdżanie" lub stożkowanie, czyli przedłużanie ścian danego wielościanu aż do ich ponownego przecięcia. Na bazie wielościanu ulegającemu procesowi stożkowania, powstają inne wielościany, których przecinające się ściany, tworzą gwiaździstą strukturę.

Jak można zauważyć Stella Octangula jest trójwymiarowym odpowiednikiem gwiazdy Dawida, ze względu na analogie występujące między nimi. Gwiazda Dawida, jest połączeniem dwóch trójkątów równobocznych, które są do siebie symetryczne względem wspólnego środka, podczas gdy Stella jest również wynikiem zsumowania dwóch figur symetrycznych pod względem wspólnego środka, ale nie są to trójkąty równoboczne, jak w przypadku gwiazdy Dawida, a czworościany.

Siatka Stelli Octanguli

Pole całkowite Stelli Octanguli to suma 24 pól powierzchni trójkątów równobocznych.
Wzór na pole powierzchni Stelli Octanguli:

gdzie a oznacza długość krawędzi bryły.

Wzór na objętość Stelli Octanguli:

Źródła:
wikipedia.org
matematyka.wroc.pl

Joanna Sokołowska Ia

Symetria w przyrodzie

Symetria to słowo pochodzenia greckiego i oznacza regularny układ, harmonię
między częściami całości. Przejawy symetrii spotykamy w figurach geometrycznych, w przyrodzie nieorganicznej (np. w kryształach), w świecie roślinnym (układ liści, płatków kwiatowych), w świecie zwierzęcym w postaci rozmieszczenia zewnętrznych organów ciała, w budownictwie, w sztuce (ornamenty, desenie), w rzemiośle (koronki, hafty), w technice, słowem - wszędzie, bo symetria jest koniecznością
strukturalną organizmów i urządzeń.
Starożytni symetrią nazywali harmonijny układ części. Symetria była najbardziej podstawowym pojęciem ich estetyki; chodziło w niej o piękno. W tym znaczeniu także używał tego wyrazu Witruwiusz, rzymski architekt żyjący w I w p.n. e.

Symetria jest wszechobecna. W świecie przyrody ożywionej również nie jest przypadkiem. Zdarza się, że pomaga żyć. Jednym uchem nie dałoby się precyzyjnie zlokalizować źródła dźwięku, a jednym okiem dokładnie oszacować odległości. W świecie węży i jaszczurek na przykład pojawia się rozdwojony język, który pomaga tym zwierzętom wyczuwać „stereo” różne smaki.

Istnieje kilka rodzajów symetrii, min.:.

Symetria płaszczyznowa, gdzie płaszczyzna dzieli figurę, (przedmiot, organizm) na 2 części, w świecie zwierząt zwana symetrią dwuboczną: zjawisko doskonale zaobserwowane np. u biedronki. Symetria dwuboczna wykształciła się w związku z aktywnym ruchem. Jest charakterystyczna dla większości zwierząt. U zwierząt dwubocznie symetrycznych można wyróżnić przód, gdzie kształtuje się głowa i tył ciała oraz stronę grzbietową i brzuszną.

Symetria osiowa występująca np. u motyla.

Symetria promienista, charakteryzująca się dużą liczbą płaszczyzn symetrii przebiegających przez figurę (przedmiot, organizm) wzdłuż jednej osi głównej jak np.
u płatka śniegu, kwiatu, blaszek grzyba, rozgwiazdy.

Symetria i asymetria ludzkiego ciała
U człowieka w okresie zarodkowym jedna połowa ciała jest lustrzanym odbiciem drugiej, a symetria dotyczy w znacznym stopniu także narządów wewnętrznych. Niewielka asymetria zewnętrznej budowy ciała człowieka jest normą.

Tą krótką informacją chciałam podkreślić znaczenie symetrii w otaczającej nas przyrodzie i jednocześnie przypomnieć wszystkim, że matematyka jest wszechobecna! Czy nam się to podoba czy nie.

Zuzanna Rosińska kl. Ia

Źródła:
http://www.matgimbolkow.ssl2.pl/
http://www.matematyka.wroc.pl/
http://www.wikipedia.pl/

Na wyciągnięcie ręki

Większość najwcześniejszych systemów pomiarowych począwszy od chińskich skończywszy na stosowanych w prekolumbijskiej Ameryce opierała się na wymiarach ludzkiego ciała albo znanych przedmiotów - na przykład ziaren pszenicy. Amerykanie i starsi wiekiem Brytyjczycy nadal podają niewielkie odległości w stopach, a angielskie słowo „grain” oznacza ziarnko albo gram - jednostkę masy równą masie ziarna jęczmienia. Ta miara pozostaje niezmienna od ponad tysiąca lat. Karat, jednostka masy używana do pomiaru złota i kamieni szlachetnych, wywodzi swoją nazwę od owoców drzewa szarańczynu znanego też jako karob albo chleb świętojański. Arabscy złotnicy stosowali je do ważenia metali szlachetnych oraz kamieni jubilerskich. Ziarna karobu mają bardzo zbliżoną masę i dlatego nadają się idealnie do ważenia kosztowności.
Łokieć - jednostka długości używana w starożytnym Egipcie i wspomniana w Starym Testamencie (podano w niej wymiary arki Noego) to odległość od łokcia do czubka palców. Dzielił się na inne jednostki, także związane z częściami ciała.
1 łokieć = 28 cali
4 cale = 1 dłoń
5 cali = 1 ręka
12 cali = jedna mała piędź
14 cali = jedna duża piędź
Jednak ciało ludzkie nie za rozmaite kształty i rozmiary, więc „ręka” jednego człowieka może nie odpowiadać „dłoni” innego. By pokonać oczywiste trudności i nie dopuścić do sporu, należało wprowadzić miary wzorcowe. Stosowane w Egipcie kije długości łokcia odpowiadały królewskiej, standardowej normie, wykonanej z czarnego granitu i mającej 524 mm długości. Pozwoliło to skutecznie ujednolicić system.

Źródła:
Grafika Google
„Fascynująca Matematyka” Anne Rooney, wydawnictwo Bellona

Weronika Krysiak 1A

Wzory i symetria - podstawą geometrii

Geometria znana była jeszcze wcześniej niż zapis liczb. Wiele dawnych ludów pozostawiło po sobie ślady zainteresowania powtarzalnymi wzorami, symetrią, kształtami - w formie wzorów geometrycznych ozdabiających przedmioty, budowle oraz mieszkania. Niektóre powstały 25 tysięcy lat przed naszą erą. Dawne konstrukcje, zbudowane lub ustawione z niezwykłą precyzją, są dowodem na to, jak nasi przodkowie pojmowali geometrię w jej najprostszej postaci.
Podczas realizacji projektów budowlanych ludzie musieli rozwiązywać praktyczne zadania geometryczne na długo zanim zostały one zapisane. Sumerowie, Babilończycy i Egipcjanie nabrali dużej biegłości w pracy z figurami dwuwymiarowymi oraz trójwymiarowymi bryłami podczas obliczania odległości powierzchni i objętości. Dokumenty pochodzące z 3100 roku przed naszą erą dowodzą, że Egipcjanie i Babilończycy już wówczas posługiwali się regułami matematycznymi, aby mierzyć pojemność magazynową, powierzchnię ziemi i planować budynki. Wielka piramida w Gizie powstała około roku 2650 przed Chrystusem i stanowi dowód na to, że Egipcjanie doskonale radzili sobie z geometrią. Grecki historyk Herodot podaje, że Egipcjanie musieli nauczyć się obliczać powierzchnie, ponieważ sezonowe wylewy Nilu nieustannie niszczyły granice między posiadłościami. Potrzebowano punktu odniesienia oraz technik pomiarowych, aby prawidłowo wyznaczać linie graniczne. O egipskich geometrach mówiono niekiedy „rozciągacze sznurów” - z powodu sposobu, w jaki odmierzali i wyznaczali odległości i kształty za pomocą lin. Bez wątpienia do odmierzania zalanych terenów stosowano tę samą technikę co do realizacji projektów budowlanych.

Źródła:
„Fascynująca Matematyka” Anne Rooney, wydawnictwo Bellona
Grafika Google

Weronika Krysiak 1A