Równania diofantyczne

Diofantos, inaczej zwany Diofantem, był matematykiem działającym w drugiej połowie III w. n.e. w Aleksandrii. Jego głównym dziełem jest Arytmetyka, która była wówczas pracą przełomową. Wyróżniało ją między innymi algebraiczne pojmowanie wielkości i działań na nich.

W swoim dziele Diofantos skupia się na rozwiązywaniu równań i układów równań algebraicznych w zbiorze dodatnich liczb wymiernych. Inne wynalazki Diofantosa to: systematyczne używanie symboli algebraicznych, specjalne oznaczenia na niewiadomą, wprowadzenie znaku pełniącego funkcję  „=”, wprowadzenie znaku odejmowania, reguła dodawania wyrazów podobnych oraz reguła przenoszenia składników z jednej strony równania na drugą.

Równaniem diofantycznym nazywamy równanie algebraiczne o współczynnikach całkowitych, dla którego rozwiązań poszukujemy wśród liczb całkowitych lub liczb naturalnych. 

Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych. Poszukiwanie rozwiązań wymiernych sprowadza się do znajdowania rozwiązań całkowitych. 

Przykłady równań diofantycznych:

1. Równanie diofantyczne liniowe

ax+by=c 

Równanie, dla którego a, b i c są dane jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb a i b dzieli c.

2. Równanie z wielkiego twierdzenia Fermata

x ⁿ+yⁿ=zⁿ

Dla n=2 równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym. Francuski matematyk Pierre Fermat żyjący w XVII wieku, postawił problem odkryty w trakcie studiowania dzieła Diofantosa dotyczący zależności dla 

n >2. Fremat odkrył, że przy tym założeniu równanie nie ma rozwiązań. 

3. Równanie, które ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania

x^y=y^x

To równie ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy x=2 i y=4 (x różne od y) oraz gdy x=4 i y =2.

4. Równanie Pella

xⁿ-nyⁿ=1

Równanie nazwane w ten sposób od nazwiska angielskiego matematyka. 

Zachodzi dla n>0. To równanie nie ma rozwiązań, gdy n jest kwadratem liczby naturalnej. W przeciwnym razie, równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązanie określa się w zależności od n.

Joanna Sokołowska IIIa 

źródła:

wikipedia.org

www.math.us.edu.pl

Systemy matematyczne

Systemy matematyczne są powszechnie stosowane w wielu dziedzinach nauki, a także wykorzystywane w życiu codziennym. Przykładem jest system binarny wykorzystywany głównie w informatyce czy elektronice cyfrowej. Natomiast system szesnastkowy znajduje zastosowanie w kalkulatorach naukowych, a także stosuje się go w informatyce i do sterowania sprzętem komputerowym. Dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach i od XVI wieku stosowany był równolegle obok systemu rzymskiego w nauce, księgowości czy w tworzącej się w tych czasach bankowości. Dzięki praktycznym zaletom umożliwiającym dogodny zapis, system arabski niemal zupełnie wyparł system rzymski z powszechnego stosowania. Wyróżniane jest kilka rodzajów systemów matematycznych w zależności od liczby stanowiącej podstawę danego systemu.

System binarny

Najprostszym układem pozycyjnym jest system binarny. Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Liczby zapisujemy, jako ciągi cyfr {0,1}, z których każda jest mnożną potęgi liczby 2.
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu, jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożną kolejnej potęgi podstawy systemu. Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym, jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010.

111₂=1∙2² + 1∙2¹ + 1∙2^o = 1∙4 + 1∙2 + 1∙1 = 7₁₀

System ósemkowy

Inną nazwą tego systemu jest system oktalny, w którym używane jest osiem cyfr {0,1,2,3,4,5,6,7}.
W systemie ósemkowym podstawą jest liczba 8. Do zamiany z ósemkowego na dziesiętny wykorzystujemy ten sam algorytm jak w przypadku zamiany z dwójkowego na dziesiętny.

123₈=1∙8² + 2∙8¹ + 3∙8⁰ = 1∙64 + 2∙8 + 3∙1 = 64 + 16 + 3 = 83₁₀

System dziesiętny

Dziesiętny system liczbowy (system dziesiątkowy, system decymalny, system arabski) – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 10; do zapisu liczb stosuje się 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczby zapisuje się, jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby 10. Dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach.

123₁₀ = 1∙10² + 2∙10¹ + 3∙10⁰ = 1∙100 + 2∙10 + 3∙1

Aby przeliczyć liczbę z systemu dziętnego na inny, należy wykonać dzielenie z resztą liczby dziesiętnej przez podstawę tego systemu liczbowego, na który jest przeliczana. Iloraz tych liczb ponownie dzielony jest przez podstawę systemu liczbowego, aż do wyniku dzielenia równego zeru.
Np. zamiana liczby 74₁₀ na jej postać dwójkową:

74 / 2 = 37 reszta 0, zatem wynik = '0'
37 / 2 = 18 reszta 1, zatem wynik = '10'
18 / 2 = 9 reszta 0, wynik = '010'
9 / 2 = 4 reszta 1, wynik = '1010'
4 / 2 = 2 reszta 0, wynik = '01010'
2 / 2 = 1 reszta 0, wynik = '001010'
1 / 2 = 0 reszta 1, wynik = '1001010'

Zatem 74₁₀ = 1001010₂

System szesnastkowy

Inaczej zwany heksadecymalnym to system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 16. Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest szesnaście znaków, którymi są {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E}. Pierwszych dziesięć znaków jest takich samych jak w systemie dziesiętnym, następne to litery A, b, C, d, E, F (małe litery b i d stosuje się zamiast dużych B i D dla rozróżnienia od cyfr 8 i 0), które odpowiadają poszczególnym wartościom A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15. Zasada zamiany na system dziesiętny jest analogiczna jak w przypadku zamiany innych systemów liczbowych na system dziesiętny.

123₁₆ = 1∙16² + 2∙16¹ + 3∙16⁰ = 1∙256 + 32 + 3 = 291₁₀

Liczba 3E8 w systemie szesnastkowym, w systemie dziesiętnym ma postać 1000 ponieważ:

3E8₁₆=3∙16² + 14∙16¹ + 8∙16⁰ = 768 + 224 + 8 = 1000₁₀

Joanna Sokołowska IIIa

Źródła:
Wikipedia.org
www.math.edu.pl

Sofizmaty matematyczne

Sofizmat jest pojęciem występującym w filozofii gdzie ma on związek z manipulacją teoriami natomiast sofizmaty występujące w matematyce są zwodniczymi "dowodami" matematycznymi, pozornie poprawnymi, lecz faktycznie błędnymi, zawierającymi rozmyślnie wprowadzony błąd logiczny, trudny do wykrycia na pierwszy rzut oka. Sofizmat zostaje zdekonspirowany poprzez dokładne przeanalizowanie danego rozumowania, co umożliwia dostrzeżenie zastosowanej manipulacji.

Przykłady:

1. "Dowód" na całkowicie fałszywe stwierdzenie, że 1 = 2

2 = 2 czyli -2 = -2 czyli 1-3 = 4-6

1 - 3 + (9/4) = 4 - 6 + (9/4) do obu stron równania dodajemy tą samą liczbę

12 - 3 + (3/2)² = 22 - 6 + (3/2)² stosujemy wzór na (a-b)²

(1 - 3/2)²=(2 - 3/2)² a² = b² to a = b

1 - 3/2 = 2 - 3/2 do obu stron równia dodano tą samą liczbę czyli

1=2

Ten ewidentnie nieprawdziwy wynik uzyskujemy na skutek błędnego założenia, że da się tu zastosować regułę a² = b² to a = b podczas gdy w tym wypadku 1 - 3/2 = - 1/2 zaś 2 - 3/2 = 1/2.

2. Każda liczba jest równa dowolnej od niej mniejszej

Jeżeli liczba a jest większa od liczby b, to istnieje pewna liczba c, taka, że a=b+c. Na przykład dla liczb 5 i 3 mamy: 5=3+2.

Zatem: a=b+c

Mnożymy obie strony równania przez a-b

a(a-b) = (b+c)(a-b) wykonujemy mnożenie

a²-ab = ab+ac-b²-bc

Składnik ac przenosimy na lewą stronę

a²-ab-ac = ab-b²-bc

a(a-b-c) = b(a-b-c)

dzielimy obie strony przez a-b-c i dostajemy

a=b

Ostateczny wniosek jest jednak fałszywy ponieważ powstał na skutek wykonania niedozwolonego dzielenia przez 0, gdyż a-b-c = 0 .

3. Jeżeli a > b to także a > 2b (a>0, b>0)

Nierówność a > b mnożymy przez b

ab > b²

odejmujemy stronami a²

ab-a² > b²-a²

czyli

a(b-a) > (b-a)(b+a)

dzielimy stronami przez b-a i dostajemy

a > b+a

dodajemy stronami nierówność wyjściową a > b i otrzymujemy

2a > 2b+a

co daje nam

a > 2b

Błąd powstał w momencie dzielenia stron nierówności przez liczbę b-a < 0 co powinno skutkować zmianą znaku tej nierówności. 4. Kolejny "dowód" na to, że 1=2

Zakładamy, że x=y

Mnożymy tę nierówność przez x

x² = yx

odejmujemy od obu stron równania y²

x²-y ²= yx-y²

przekształcamy równanie

(x-y)(x+y)=y(x-y)

dzielimy przez (x-y)

x+y = y

ponieważ z założenia x=y więc 2y = y

wniosek

2=1

Drogi czytelniku sam odszukaj błąd w powyższym dowodzeniu.
Podpowiedź: podobny chwyt już się pojawił powyżej.

Źródła:
www.tomaszgrebski.pl
www.serwis-matematyczny.pl
www.formum.swietagometria.info

Joanna Sokołowska IIa

Rozrywki Matematyczne cz.2

Albert Einstein (ur. 14 marca 1879 w Ulm, zm. 18 kwietnia 1955 w Princeton) – niemiecki fizyk żydowskiego pochodzenia, jeden z największych fizyków-teoretyków XX wieku, twórca ogólnej i szczególnej teorii względności, współtwórca korpuskularno-falowej teorii światła, odkrywca emisji wymuszonej. Laureat Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki w 1921 roku za wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego.

Wielki fizyk Albert Einstein lubił wymyślać zagadki logiczne dla swoich uczniów. Podobno twierdził, że zagadkę o sąsiadach potrafi rozwiązać jedynie 2% ludzi. Sprawdź czy zaliczasz się do tego grona geniuszy!


Pięciu ludzi różnych narodowości zamieszkuje 5 domów w 5 różnych kolorach. Wszyscy palą papierosy 5 różnych marek i piją 5 różnych napojów. Hodują zwierzęta 5 różnych gatunków.

1. Norweg zamieszkuje pierwszy dom
2. Anglik mieszka w czerwonym domu.
3. Zielony dom znajduje się bezpośrednio po lewej stronie domu białego.
4. Duńczyk pija herbatkę.
5. Palacz Rothmansów mieszka obok hodowcy kotów.
6. Mieszkaniec żółtego domu pali Dunhille.
7. Niemiec pali Marlboro.
8. Mieszkaniec środkowego domu pija mleko.
9. Palacz Rothmansów ma sąsiada, który pija wodę.
10. Palacz Pall Malli hoduje ptaki.
11. Szwed hoduje psy.
12. Norweg mieszka obok niebieskiego domu.
13. Hodowca koni mieszka obok żółtego domu.
14. Palacz Philip Morris pija piwo.
15. W zielonym domu pija się kawę.

Zakłada się, że domy ustawione są w jednej linii (1-2-3-4-5), a określenie "po lewej stronie" w punkcie 3. dotyczy lewej strony z perspektywy naprzeciw tych domów (tj. dom o numerze n jest bezpośrednio po lewej stronie domu n+1). Pytanie: który z nich hoduje rybki?


Należy wszystkie dane umieścić w rubrykach poniższej tabelki

Źródła:
http://odkrywcy.pl/kat,111404,title,Zagadka-Einsteina-sprawdz-czy-jestes-geniuszem,wid,13640818,wiadomosc.html
http://miroslawzelent.pl/nauka/zagadka-einsteina-czyli-kto-hoduje-rybki/
https://pl.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

Dagmara Ciupa IIA

Rozrywki Matematyczne cz.1

Enrico Fermi (ur. 29 września 1901 w Rzymie, Włochy, zm. 28 listopada 1954 w Chicago, USA) – włoski fizyk teoretyk, laureat Nagrody Nobla z dziedziny fizyki w roku 1938, za wytworzenie w reakcjach z neutronami nowych pierwiastków promieniotwórczych. Bardzo lubił on rozwiązywać problemy, w których trzeba było szacować różne dziwne wielkości. Oto kilka problemów tego typu:
• Czy Chińczycy mogą nakryć Polskę czapkami?
• Ile kilogramów soli zjadamy w ciągu swojego życia?
• Ile ważą razem wszystkie mrówki na świecie?


Takie pytania nazywane są pytaniami Fermiego (nawet, jeśli to nie Fermi jest ich autorem). Aby znaleźć na nie odpowiedzi, czasami wystarczy odszukać odpowiednie dane i wykonać obliczenia. Często jednak danych potrzebnych do odpowiedzi na pytanie Fermiego nigdzie nie znajdziemy. Możemy je wówczas oszacować, przyjmując rozsądne założenia.

1. Spróbujmy rozwiązać problem dotyczący tego, czy Chińczycy mogą nakryć Polskę czapkami.

Powierzchnia Polski: 312 tys. km². Liczba mieszkańców Chin: 1 mld 200 mln

Wielkość czapki Chińczyka musimy oszacować. Przyjmijmy, że taka czapka ma średnicę 40 cm.

pi * 20² cm² ≈ 1300 cm² = 0,13 m²
1 200 000 000 * 0,13 m² = 156 000 000 m² = 156 km²

Odp.: Z obliczeń wynika, że Chińczycy nie mogliby nakryć Polski czapkami. Nie mogliby nakryć nawet jednego województwa.


2. Spróbujmy rozwiązać problem dotyczący tego, ile źdźbeł trawy jest na boisku piłkarskim.

Na cm² wchodzi 10-15 ździebeł. Boisko ma 45-90 m szerokości i 90-120 m długości, czyli od 4050 m² do 10800 m².

4050 m²= 40500000 cm²
40 500 000 cm² * 10 (źdźbeł /cm²) = 405 000 000 ździebeł
10800 m² = 108000000 cm²
108 000 000 cm² * 15 źdźbeł /cm² = 1 620 000 000 ździebeł

Odp: Na boisku znajduje się od 405 000 000 do 1 620 000 000 ździebeł w zależności od rozmiarów boiska.

Źródła:
http://nietuzinkowyblognaukowy.blogspot.com/2012/10/rozwiazanie-paradoksu-fermiego.html
https://docs.google.com/presentation/d/1d21VeTyB9hHoLX2fum3mdnmphVmjKmjHITeeCLwejPg/present?slide=id.p
https://pl.wikipedia.org/wiki/Enrico_Fermi

Dagmara Ciupa IIA

Tales z Miletu - „Poznaj samego siebie!”.

Filozof, matematyk, astronom grecki i systematyk wiedzy geometrycznej. Urodził się w prowincji Jonia nad morzem Egejskim. Znane mu były zjawiska oddziaływania magnesu na żelazo, elektryzowania się bursztynu, potrafił także przewidzieć zaćmienia Słońca. Uważany jest za jednego ze starożytnych mędrców. Można uznać, że to Tales był osobą, która łącząc wiedzę praktyczną zbudowała fundamenty dzisiejszej geometrii.

Zgodnie z przekazami starożytnych, a w szczególności greckiego filozofa Proklosa, żyjącego w V w. p.n.e., Talesowi przypisuje się następujące twierdzenia geometryczne:
1. Średnica dzieli okrąg na połowy.
2. Dwa kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.
3. Kąty wierzchołkowe, powstałe na skutek przecięcia dwóch linii prostych są równe.
4. Kąt wpisany w okrąg i oparty na jego średnicy jest kątem prostym.
5. Jeżeli w dwóch trójkątach bok i przyległe do niego kąty są równe, to te trójkąty są przystające.

Twierdzenie Talesa:
Jeśli ramiona kąta przeciąć dwiema równoległymi, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Według legendy Tales z Miletu wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij.
Teoria jak mógł tego dokonać:
Ponieważ trójkąty OAA' i OBB' są podobne zachodzi proporcja. Znając |AA'| - długość kija, mierząc |OA| - długość jego cienia i |OB| - długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.
Prawdopodobnie Tales wykorzystał prostszy sposób - wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę.

Matematyka jednak się do czegoś przydaje, prawda?

Źródła:
http://www.math.edu.pl/
http://pl.wikipedia.org/
http://www.serwis-matematyczny.pl/
http://www.slawni-matematycy.cba.pl/
grafika google

Judyta Sewera 2a

Wyjątek obala hipotezę

Stawianie hipotez, a także próby ich udowadniania stanowiły główny przedmiot działalności wielu genialnych matematyków. Rozpatrywane kwestie teoretyczne dotyczyły działań algebraicznych, również tych, które uznawane są powszechnie za oczywiste i niepodlegające dyskusji. Jednak poszczególne wyjątki świadczą o braku poprawności poszczególnych, z pozoru niekwestionowanych zależności matematycznych. Oto kilka przykładów postawionych hipotez, które po dokonaniu rzetelnej analizy okazały się fałszywe.

1) Liczby postaci 2²ⁿ +1 zwane liczbami Fermata dla n=0, 1, 2, 3, 4 są liczbami pierwszymi.

Fermat przypuszczał, że wszystkie liczby postaci F_k = 2^2k+1, gdzie k jest liczbą całkowitą nieujemną są liczbami pierwszymi.

Wykazano, że F₅ jest liczbą złożoną, co świadczy o tym, że hipoteza postawiona przez Fermata nie znajduje potwierdzenia w praktyce.

2) W XVII w. niemiecki matematyk G.W Leibniz udowodnił, że dla każdej liczby naturalnej n
a) liczba n³ - n jest podzielna przez 3
b) liczba n⁵ - n jest podzielna przez 5
c) liczba n⁷ - n jest podzielna przez 7
Postawiona hipoteza, że liczba n^k-n jest podzielna przez k, dla dowolnej nieparzystej liczby naturalnej k, okazała się fałszywa. Liczba będąca wynikiem działania 2⁹ - 2 = 510 nie jest podzielna przez 9.

3) Ciekawą zależność dostrzeżoną przez Eulera mają liczby postaci n²+n+41, bowiem wstawiając w miejsce n kolejne liczby 1, 2, 3, 4,… otrzymujemy za każdym razem liczbę pierwszą. Nasuwa się więc hipoteza, że wszystkie liczby tej postaci są liczbami pierwszymi. Aby potwierdzić tę hipotezę należałoby ją udowodnić, natomiast w celu jej obalenia wystarczy jedynie podać kontrprzykład - otóż liczba 41²+41+41 (dla n=41) jest liczbą złożoną podzielną przez 41. Natomiast najmniejszą liczbą złożoną, która jest postaci n²+n+41, jest liczba 40²+40+41=41².

4) Kolejna nieprawdziwa teza brzmi: badając liczby postaci 991 n² + 1 przez wstawianie w miejsce n kolejnych liczb 1, 2, 3, 4,… nigdy nie otrzymamy liczby, która jest pełnym kwadratem to znaczy liczby dającej się zapisać w postaci k². Jednak założenie iż dla dowolnego n nie jest to możliwe, odnosi się jedynie do działań arytmetycznych będących w zakresie ludzkich możliwości, ponieważ dopiero przy
n=12055735790331359447442538767
otrzymamy liczbę, którą da się zapisać jako kwadrat innej liczby. W tym przypadku uprzednio postawiona hipoteza okazała się fałszywa.

Joanna Sokołowska IIa

Źródła;
https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba_pierwsza
http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/teoria_liczb/2012/03/27/Zlozony_problem_liczb_pierwszych/