Systemy matematyczne

Systemy matematyczne są powszechnie stosowane w wielu dziedzinach nauki, a także wykorzystywane w życiu codziennym. Przykładem jest system binarny wykorzystywany głównie w informatyce czy elektronice cyfrowej. Natomiast system szesnastkowy znajduje zastosowanie w kalkulatorach naukowych, a także stosuje się go w informatyce i do sterowania sprzętem komputerowym. Dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach i od XVI wieku stosowany był równolegle obok systemu rzymskiego w nauce, księgowości czy w tworzącej się w tych czasach bankowości. Dzięki praktycznym zaletom umożliwiającym dogodny zapis, system arabski niemal zupełnie wyparł system rzymski z powszechnego stosowania. Wyróżniane jest kilka rodzajów systemów matematycznych w zależności od liczby stanowiącej podstawę danego systemu.

System binarny

Najprostszym układem pozycyjnym jest system binarny. Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Liczby zapisujemy, jako ciągi cyfr {0,1}, z których każda jest mnożną potęgi liczby 2.
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu, jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożną kolejnej potęgi podstawy systemu. Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym, jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010.

111₂=1∙2² + 1∙2¹ + 1∙2^o = 1∙4 + 1∙2 + 1∙1 = 7₁₀

System ósemkowy

Inną nazwą tego systemu jest system oktalny, w którym używane jest osiem cyfr {0,1,2,3,4,5,6,7}.
W systemie ósemkowym podstawą jest liczba 8. Do zamiany z ósemkowego na dziesiętny wykorzystujemy ten sam algorytm jak w przypadku zamiany z dwójkowego na dziesiętny.

123₈=1∙8² + 2∙8¹ + 3∙8⁰ = 1∙64 + 2∙8 + 3∙1 = 64 + 16 + 3 = 83₁₀

System dziesiętny

Dziesiętny system liczbowy (system dziesiątkowy, system decymalny, system arabski) – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 10; do zapisu liczb stosuje się 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczby zapisuje się, jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby 10. Dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach.

123₁₀ = 1∙10² + 2∙10¹ + 3∙10⁰ = 1∙100 + 2∙10 + 3∙1

Aby przeliczyć liczbę z systemu dziętnego na inny, należy wykonać dzielenie z resztą liczby dziesiętnej przez podstawę tego systemu liczbowego, na który jest przeliczana. Iloraz tych liczb ponownie dzielony jest przez podstawę systemu liczbowego, aż do wyniku dzielenia równego zeru.
Np. zamiana liczby 74₁₀ na jej postać dwójkową:

74 / 2 = 37 reszta 0, zatem wynik = '0'
37 / 2 = 18 reszta 1, zatem wynik = '10'
18 / 2 = 9 reszta 0, wynik = '010'
9 / 2 = 4 reszta 1, wynik = '1010'
4 / 2 = 2 reszta 0, wynik = '01010'
2 / 2 = 1 reszta 0, wynik = '001010'
1 / 2 = 0 reszta 1, wynik = '1001010'

Zatem 74₁₀ = 1001010₂

System szesnastkowy

Inaczej zwany heksadecymalnym to system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 16. Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest szesnaście znaków, którymi są {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E}. Pierwszych dziesięć znaków jest takich samych jak w systemie dziesiętnym, następne to litery A, b, C, d, E, F (małe litery b i d stosuje się zamiast dużych B i D dla rozróżnienia od cyfr 8 i 0), które odpowiadają poszczególnym wartościom A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15. Zasada zamiany na system dziesiętny jest analogiczna jak w przypadku zamiany innych systemów liczbowych na system dziesiętny.

123₁₆ = 1∙16² + 2∙16¹ + 3∙16⁰ = 1∙256 + 32 + 3 = 291₁₀

Liczba 3E8 w systemie szesnastkowym, w systemie dziesiętnym ma postać 1000 ponieważ:

3E8₁₆=3∙16² + 14∙16¹ + 8∙16⁰ = 768 + 224 + 8 = 1000₁₀

Joanna Sokołowska IIIa

Źródła:
Wikipedia.org
www.math.edu.pl