Ten blog jest poświęcony matematyce, uważanej przez większość uczniów za przedmiot trudny, nudny i mało przydatny. Spróbujemy tu wyjrzeć poza ułamki, równania czy procenty i dostrzec precyzję, z jaką matematyka opisuje nasz świat oraz zastanowić się nad wielkością umysłów, które na przestrzeni dziejów, ten język natury pomogły nam zrozumieć.
3 czerwca 2016
Sofizmaty matematyczne
Sofizmat jest pojęciem występującym w filozofii gdzie ma on związek z manipulacją teoriami natomiast sofizmaty występujące w matematyce są zwodniczymi "dowodami" matematycznymi, pozornie poprawnymi, lecz faktycznie błędnymi, zawierającymi rozmyślnie wprowadzony błąd logiczny, trudny do wykrycia na pierwszy rzut oka. Sofizmat zostaje zdekonspirowany poprzez dokładne przeanalizowanie danego rozumowania, co umożliwia dostrzeżenie zastosowanej manipulacji.
Przykłady:
1. "Dowód" na całkowicie fałszywe stwierdzenie, że 1 = 2
2 = 2 czyli -2 = -2 czyli 1-3 = 4-6
1 - 3 + (9/4) = 4 - 6 + (9/4) do obu stron równania dodajemy tą samą liczbę
12 - 3 + (3/2)² = 22 - 6 + (3/2)² stosujemy wzór na (a-b)²
(1 - 3/2)²=(2 - 3/2)² a² = b² to a = b
1 - 3/2 = 2 - 3/2 do obu stron równia dodano tą samą liczbę czyli
1=2
Ten ewidentnie nieprawdziwy wynik uzyskujemy na skutek błędnego założenia, że da się tu zastosować regułę a² = b² to a = b podczas gdy w tym wypadku 1 - 3/2 = - 1/2 zaś 2 - 3/2 = 1/2.
2. Każda liczba jest równa dowolnej od niej mniejszej
Jeżeli liczba a jest większa od liczby b, to istnieje pewna liczba c, taka, że a=b+c. Na przykład dla liczb 5 i 3 mamy: 5=3+2.
Zatem: a=b+c
Mnożymy obie strony równania przez a-b
a(a-b) = (b+c)(a-b) wykonujemy mnożenie
a²-ab = ab+ac-b²-bc
Składnik ac przenosimy na lewą stronę
a²-ab-ac = ab-b²-bc
a(a-b-c) = b(a-b-c)
dzielimy obie strony przez a-b-c i dostajemy
a=b
Ostateczny wniosek jest jednak fałszywy ponieważ powstał na skutek wykonania niedozwolonego dzielenia przez 0, gdyż a-b-c = 0 .
3. Jeżeli a > b to także a > 2b (a>0, b>0)
Nierówność a > b mnożymy przez b
ab > b²
odejmujemy stronami a²
ab-a² > b²-a²
czyli
a(b-a) > (b-a)(b+a)
dzielimy stronami przez b-a i dostajemy
a > b+a
dodajemy stronami nierówność wyjściową a > b i otrzymujemy
2a > 2b+a
co daje nam
a > 2b
Błąd powstał w momencie dzielenia stron nierówności przez liczbę b-a < 0 co powinno skutkować zmianą znaku tej nierówności. 4. Kolejny "dowód" na to, że 1=2
Zakładamy, że x=y
Mnożymy tę nierówność przez x
x² = yx
odejmujemy od obu stron równania y²
x²-y ²= yx-y²
przekształcamy równanie
(x-y)(x+y)=y(x-y)
dzielimy przez (x-y)
x+y = y
ponieważ z założenia x=y więc 2y = y
wniosek
2=1
Drogi czytelniku sam odszukaj błąd w powyższym dowodzeniu.
Podpowiedź: podobny chwyt już się pojawił powyżej.
Źródła:
www.tomaszgrebski.pl
www.serwis-matematyczny.pl
www.formum.swietagometria.info
Joanna Sokołowska IIa
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz