Równania diofantyczne

Diofantos, inaczej zwany Diofantem, był matematykiem działającym w drugiej połowie III w. n.e. w Aleksandrii. Jego głównym dziełem jest Arytmetyka, która była wówczas pracą przełomową. Wyróżniało ją między innymi algebraiczne pojmowanie wielkości i działań na nich.

W swoim dziele Diofantos skupia się na rozwiązywaniu równań i układów równań algebraicznych w zbiorze dodatnich liczb wymiernych. Inne wynalazki Diofantosa to: systematyczne używanie symboli algebraicznych, specjalne oznaczenia na niewiadomą, wprowadzenie znaku pełniącego funkcję  „=”, wprowadzenie znaku odejmowania, reguła dodawania wyrazów podobnych oraz reguła przenoszenia składników z jednej strony równania na drugą.

Równaniem diofantycznym nazywamy równanie algebraiczne o współczynnikach całkowitych, dla którego rozwiązań poszukujemy wśród liczb całkowitych lub liczb naturalnych. 

Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych. Poszukiwanie rozwiązań wymiernych sprowadza się do znajdowania rozwiązań całkowitych. 

Przykłady równań diofantycznych:

1. Równanie diofantyczne liniowe

ax+by=c 

Równanie, dla którego a, b i c są dane jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb a i b dzieli c.

2. Równanie z wielkiego twierdzenia Fermata

x ⁿ+yⁿ=zⁿ

Dla n=2 równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym. Francuski matematyk Pierre Fermat żyjący w XVII wieku, postawił problem odkryty w trakcie studiowania dzieła Diofantosa dotyczący zależności dla 

n >2. Fremat odkrył, że przy tym założeniu równanie nie ma rozwiązań. 

3. Równanie, które ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania

x^y=y^x

To równie ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy x=2 i y=4 (x różne od y) oraz gdy x=4 i y =2.

4. Równanie Pella

xⁿ-nyⁿ=1

Równanie nazwane w ten sposób od nazwiska angielskiego matematyka. 

Zachodzi dla n>0. To równanie nie ma rozwiązań, gdy n jest kwadratem liczby naturalnej. W przeciwnym razie, równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązanie określa się w zależności od n.

Joanna Sokołowska IIIa 

źródła:

wikipedia.org

www.math.us.edu.pl

Systemy matematyczne

Systemy matematyczne są powszechnie stosowane w wielu dziedzinach nauki, a także wykorzystywane w życiu codziennym. Przykładem jest system binarny wykorzystywany głównie w informatyce czy elektronice cyfrowej. Natomiast system szesnastkowy znajduje zastosowanie w kalkulatorach naukowych, a także stosuje się go w informatyce i do sterowania sprzętem komputerowym. Dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach i od XVI wieku stosowany był równolegle obok systemu rzymskiego w nauce, księgowości czy w tworzącej się w tych czasach bankowości. Dzięki praktycznym zaletom umożliwiającym dogodny zapis, system arabski niemal zupełnie wyparł system rzymski z powszechnego stosowania. Wyróżniane jest kilka rodzajów systemów matematycznych w zależności od liczby stanowiącej podstawę danego systemu.

System binarny

Najprostszym układem pozycyjnym jest system binarny. Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Liczby zapisujemy, jako ciągi cyfr {0,1}, z których każda jest mnożną potęgi liczby 2.
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu, jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożną kolejnej potęgi podstawy systemu. Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym, jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010.

111₂=1∙2² + 1∙2¹ + 1∙2^o = 1∙4 + 1∙2 + 1∙1 = 7₁₀

System ósemkowy

Inną nazwą tego systemu jest system oktalny, w którym używane jest osiem cyfr {0,1,2,3,4,5,6,7}.
W systemie ósemkowym podstawą jest liczba 8. Do zamiany z ósemkowego na dziesiętny wykorzystujemy ten sam algorytm jak w przypadku zamiany z dwójkowego na dziesiętny.

123₈=1∙8² + 2∙8¹ + 3∙8⁰ = 1∙64 + 2∙8 + 3∙1 = 64 + 16 + 3 = 83₁₀

System dziesiętny

Dziesiętny system liczbowy (system dziesiątkowy, system decymalny, system arabski) – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 10; do zapisu liczb stosuje się 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczby zapisuje się, jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby 10. Dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach.

123₁₀ = 1∙10² + 2∙10¹ + 3∙10⁰ = 1∙100 + 2∙10 + 3∙1

Aby przeliczyć liczbę z systemu dziętnego na inny, należy wykonać dzielenie z resztą liczby dziesiętnej przez podstawę tego systemu liczbowego, na który jest przeliczana. Iloraz tych liczb ponownie dzielony jest przez podstawę systemu liczbowego, aż do wyniku dzielenia równego zeru.
Np. zamiana liczby 74₁₀ na jej postać dwójkową:

74 / 2 = 37 reszta 0, zatem wynik = '0'
37 / 2 = 18 reszta 1, zatem wynik = '10'
18 / 2 = 9 reszta 0, wynik = '010'
9 / 2 = 4 reszta 1, wynik = '1010'
4 / 2 = 2 reszta 0, wynik = '01010'
2 / 2 = 1 reszta 0, wynik = '001010'
1 / 2 = 0 reszta 1, wynik = '1001010'

Zatem 74₁₀ = 1001010₂

System szesnastkowy

Inaczej zwany heksadecymalnym to system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 16. Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest szesnaście znaków, którymi są {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E}. Pierwszych dziesięć znaków jest takich samych jak w systemie dziesiętnym, następne to litery A, b, C, d, E, F (małe litery b i d stosuje się zamiast dużych B i D dla rozróżnienia od cyfr 8 i 0), które odpowiadają poszczególnym wartościom A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15. Zasada zamiany na system dziesiętny jest analogiczna jak w przypadku zamiany innych systemów liczbowych na system dziesiętny.

123₁₆ = 1∙16² + 2∙16¹ + 3∙16⁰ = 1∙256 + 32 + 3 = 291₁₀

Liczba 3E8 w systemie szesnastkowym, w systemie dziesiętnym ma postać 1000 ponieważ:

3E8₁₆=3∙16² + 14∙16¹ + 8∙16⁰ = 768 + 224 + 8 = 1000₁₀

Joanna Sokołowska IIIa

Źródła:
Wikipedia.org
www.math.edu.pl

Sofizmaty matematyczne

Sofizmat jest pojęciem występującym w filozofii gdzie ma on związek z manipulacją teoriami natomiast sofizmaty występujące w matematyce są zwodniczymi "dowodami" matematycznymi, pozornie poprawnymi, lecz faktycznie błędnymi, zawierającymi rozmyślnie wprowadzony błąd logiczny, trudny do wykrycia na pierwszy rzut oka. Sofizmat zostaje zdekonspirowany poprzez dokładne przeanalizowanie danego rozumowania, co umożliwia dostrzeżenie zastosowanej manipulacji.

Przykłady:

1. "Dowód" na całkowicie fałszywe stwierdzenie, że 1 = 2

2 = 2 czyli -2 = -2 czyli 1-3 = 4-6

1 - 3 + (9/4) = 4 - 6 + (9/4) do obu stron równania dodajemy tą samą liczbę

12 - 3 + (3/2)² = 22 - 6 + (3/2)² stosujemy wzór na (a-b)²

(1 - 3/2)²=(2 - 3/2)² a² = b² to a = b

1 - 3/2 = 2 - 3/2 do obu stron równia dodano tą samą liczbę czyli

1=2

Ten ewidentnie nieprawdziwy wynik uzyskujemy na skutek błędnego założenia, że da się tu zastosować regułę a² = b² to a = b podczas gdy w tym wypadku 1 - 3/2 = - 1/2 zaś 2 - 3/2 = 1/2.

2. Każda liczba jest równa dowolnej od niej mniejszej

Jeżeli liczba a jest większa od liczby b, to istnieje pewna liczba c, taka, że a=b+c. Na przykład dla liczb 5 i 3 mamy: 5=3+2.

Zatem: a=b+c

Mnożymy obie strony równania przez a-b

a(a-b) = (b+c)(a-b) wykonujemy mnożenie

a²-ab = ab+ac-b²-bc

Składnik ac przenosimy na lewą stronę

a²-ab-ac = ab-b²-bc

a(a-b-c) = b(a-b-c)

dzielimy obie strony przez a-b-c i dostajemy

a=b

Ostateczny wniosek jest jednak fałszywy ponieważ powstał na skutek wykonania niedozwolonego dzielenia przez 0, gdyż a-b-c = 0 .

3. Jeżeli a > b to także a > 2b (a>0, b>0)

Nierówność a > b mnożymy przez b

ab > b²

odejmujemy stronami a²

ab-a² > b²-a²

czyli

a(b-a) > (b-a)(b+a)

dzielimy stronami przez b-a i dostajemy

a > b+a

dodajemy stronami nierówność wyjściową a > b i otrzymujemy

2a > 2b+a

co daje nam

a > 2b

Błąd powstał w momencie dzielenia stron nierówności przez liczbę b-a < 0 co powinno skutkować zmianą znaku tej nierówności. 4. Kolejny "dowód" na to, że 1=2

Zakładamy, że x=y

Mnożymy tę nierówność przez x

x² = yx

odejmujemy od obu stron równania y²

x²-y ²= yx-y²

przekształcamy równanie

(x-y)(x+y)=y(x-y)

dzielimy przez (x-y)

x+y = y

ponieważ z założenia x=y więc 2y = y

wniosek

2=1

Drogi czytelniku sam odszukaj błąd w powyższym dowodzeniu.
Podpowiedź: podobny chwyt już się pojawił powyżej.

Źródła:
www.tomaszgrebski.pl
www.serwis-matematyczny.pl
www.formum.swietagometria.info

Joanna Sokołowska IIa

Rozrywki Matematyczne cz.2

Albert Einstein (ur. 14 marca 1879 w Ulm, zm. 18 kwietnia 1955 w Princeton) – niemiecki fizyk żydowskiego pochodzenia, jeden z największych fizyków-teoretyków XX wieku, twórca ogólnej i szczególnej teorii względności, współtwórca korpuskularno-falowej teorii światła, odkrywca emisji wymuszonej. Laureat Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki w 1921 roku za wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego.

Wielki fizyk Albert Einstein lubił wymyślać zagadki logiczne dla swoich uczniów. Podobno twierdził, że zagadkę o sąsiadach potrafi rozwiązać jedynie 2% ludzi. Sprawdź czy zaliczasz się do tego grona geniuszy!


Pięciu ludzi różnych narodowości zamieszkuje 5 domów w 5 różnych kolorach. Wszyscy palą papierosy 5 różnych marek i piją 5 różnych napojów. Hodują zwierzęta 5 różnych gatunków.

1. Norweg zamieszkuje pierwszy dom
2. Anglik mieszka w czerwonym domu.
3. Zielony dom znajduje się bezpośrednio po lewej stronie domu białego.
4. Duńczyk pija herbatkę.
5. Palacz Rothmansów mieszka obok hodowcy kotów.
6. Mieszkaniec żółtego domu pali Dunhille.
7. Niemiec pali Marlboro.
8. Mieszkaniec środkowego domu pija mleko.
9. Palacz Rothmansów ma sąsiada, który pija wodę.
10. Palacz Pall Malli hoduje ptaki.
11. Szwed hoduje psy.
12. Norweg mieszka obok niebieskiego domu.
13. Hodowca koni mieszka obok żółtego domu.
14. Palacz Philip Morris pija piwo.
15. W zielonym domu pija się kawę.

Zakłada się, że domy ustawione są w jednej linii (1-2-3-4-5), a określenie "po lewej stronie" w punkcie 3. dotyczy lewej strony z perspektywy naprzeciw tych domów (tj. dom o numerze n jest bezpośrednio po lewej stronie domu n+1). Pytanie: który z nich hoduje rybki?


Należy wszystkie dane umieścić w rubrykach poniższej tabelki

Źródła:
http://odkrywcy.pl/kat,111404,title,Zagadka-Einsteina-sprawdz-czy-jestes-geniuszem,wid,13640818,wiadomosc.html
http://miroslawzelent.pl/nauka/zagadka-einsteina-czyli-kto-hoduje-rybki/
https://pl.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

Dagmara Ciupa IIA

Rozrywki Matematyczne cz.1

Enrico Fermi (ur. 29 września 1901 w Rzymie, Włochy, zm. 28 listopada 1954 w Chicago, USA) – włoski fizyk teoretyk, laureat Nagrody Nobla z dziedziny fizyki w roku 1938, za wytworzenie w reakcjach z neutronami nowych pierwiastków promieniotwórczych. Bardzo lubił on rozwiązywać problemy, w których trzeba było szacować różne dziwne wielkości. Oto kilka problemów tego typu:
• Czy Chińczycy mogą nakryć Polskę czapkami?
• Ile kilogramów soli zjadamy w ciągu swojego życia?
• Ile ważą razem wszystkie mrówki na świecie?


Takie pytania nazywane są pytaniami Fermiego (nawet, jeśli to nie Fermi jest ich autorem). Aby znaleźć na nie odpowiedzi, czasami wystarczy odszukać odpowiednie dane i wykonać obliczenia. Często jednak danych potrzebnych do odpowiedzi na pytanie Fermiego nigdzie nie znajdziemy. Możemy je wówczas oszacować, przyjmując rozsądne założenia.

1. Spróbujmy rozwiązać problem dotyczący tego, czy Chińczycy mogą nakryć Polskę czapkami.

Powierzchnia Polski: 312 tys. km². Liczba mieszkańców Chin: 1 mld 200 mln

Wielkość czapki Chińczyka musimy oszacować. Przyjmijmy, że taka czapka ma średnicę 40 cm.

pi * 20² cm² ≈ 1300 cm² = 0,13 m²
1 200 000 000 * 0,13 m² = 156 000 000 m² = 156 km²

Odp.: Z obliczeń wynika, że Chińczycy nie mogliby nakryć Polski czapkami. Nie mogliby nakryć nawet jednego województwa.


2. Spróbujmy rozwiązać problem dotyczący tego, ile źdźbeł trawy jest na boisku piłkarskim.

Na cm² wchodzi 10-15 ździebeł. Boisko ma 45-90 m szerokości i 90-120 m długości, czyli od 4050 m² do 10800 m².

4050 m²= 40500000 cm²
40 500 000 cm² * 10 (źdźbeł /cm²) = 405 000 000 ździebeł
10800 m² = 108000000 cm²
108 000 000 cm² * 15 źdźbeł /cm² = 1 620 000 000 ździebeł

Odp: Na boisku znajduje się od 405 000 000 do 1 620 000 000 ździebeł w zależności od rozmiarów boiska.

Źródła:
http://nietuzinkowyblognaukowy.blogspot.com/2012/10/rozwiazanie-paradoksu-fermiego.html
https://docs.google.com/presentation/d/1d21VeTyB9hHoLX2fum3mdnmphVmjKmjHITeeCLwejPg/present?slide=id.p
https://pl.wikipedia.org/wiki/Enrico_Fermi

Dagmara Ciupa IIA

Tales z Miletu - „Poznaj samego siebie!”.

Filozof, matematyk, astronom grecki i systematyk wiedzy geometrycznej. Urodził się w prowincji Jonia nad morzem Egejskim. Znane mu były zjawiska oddziaływania magnesu na żelazo, elektryzowania się bursztynu, potrafił także przewidzieć zaćmienia Słońca. Uważany jest za jednego ze starożytnych mędrców. Można uznać, że to Tales był osobą, która łącząc wiedzę praktyczną zbudowała fundamenty dzisiejszej geometrii.

Zgodnie z przekazami starożytnych, a w szczególności greckiego filozofa Proklosa, żyjącego w V w. p.n.e., Talesowi przypisuje się następujące twierdzenia geometryczne:
1. Średnica dzieli okrąg na połowy.
2. Dwa kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.
3. Kąty wierzchołkowe, powstałe na skutek przecięcia dwóch linii prostych są równe.
4. Kąt wpisany w okrąg i oparty na jego średnicy jest kątem prostym.
5. Jeżeli w dwóch trójkątach bok i przyległe do niego kąty są równe, to te trójkąty są przystające.

Twierdzenie Talesa:
Jeśli ramiona kąta przeciąć dwiema równoległymi, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

Według legendy Tales z Miletu wyznaczył wysokość piramidy w Egipcie na podstawie długości cienia rzucanego przez kij.
Teoria jak mógł tego dokonać:
Ponieważ trójkąty OAA' i OBB' są podobne zachodzi proporcja. Znając |AA'| - długość kija, mierząc |OA| - długość jego cienia i |OB| - długość cienia piramidy, natychmiast wyliczamy jej wysokość Analogicznie można obliczać wysokość innego wysokiego przedmiotu.
Prawdopodobnie Tales wykorzystał prostszy sposób - wbił w ziemię kij o znanej długości, odczekał chwili, gdy długość cienia jest równa długości kija, a następnie zmierzył długość cienia rzucanego przez piramidę.

Matematyka jednak się do czegoś przydaje, prawda?

Źródła:
http://www.math.edu.pl/
http://pl.wikipedia.org/
http://www.serwis-matematyczny.pl/
http://www.slawni-matematycy.cba.pl/
grafika google

Judyta Sewera 2a

Wyjątek obala hipotezę

Stawianie hipotez, a także próby ich udowadniania stanowiły główny przedmiot działalności wielu genialnych matematyków. Rozpatrywane kwestie teoretyczne dotyczyły działań algebraicznych, również tych, które uznawane są powszechnie za oczywiste i niepodlegające dyskusji. Jednak poszczególne wyjątki świadczą o braku poprawności poszczególnych, z pozoru niekwestionowanych zależności matematycznych. Oto kilka przykładów postawionych hipotez, które po dokonaniu rzetelnej analizy okazały się fałszywe.

1) Liczby postaci 2²ⁿ +1 zwane liczbami Fermata dla n=0, 1, 2, 3, 4 są liczbami pierwszymi.

Fermat przypuszczał, że wszystkie liczby postaci F_k = 2^2k+1, gdzie k jest liczbą całkowitą nieujemną są liczbami pierwszymi.

Wykazano, że F₅ jest liczbą złożoną, co świadczy o tym, że hipoteza postawiona przez Fermata nie znajduje potwierdzenia w praktyce.

2) W XVII w. niemiecki matematyk G.W Leibniz udowodnił, że dla każdej liczby naturalnej n
a) liczba n³ - n jest podzielna przez 3
b) liczba n⁵ - n jest podzielna przez 5
c) liczba n⁷ - n jest podzielna przez 7
Postawiona hipoteza, że liczba n^k-n jest podzielna przez k, dla dowolnej nieparzystej liczby naturalnej k, okazała się fałszywa. Liczba będąca wynikiem działania 2⁹ - 2 = 510 nie jest podzielna przez 9.

3) Ciekawą zależność dostrzeżoną przez Eulera mają liczby postaci n²+n+41, bowiem wstawiając w miejsce n kolejne liczby 1, 2, 3, 4,… otrzymujemy za każdym razem liczbę pierwszą. Nasuwa się więc hipoteza, że wszystkie liczby tej postaci są liczbami pierwszymi. Aby potwierdzić tę hipotezę należałoby ją udowodnić, natomiast w celu jej obalenia wystarczy jedynie podać kontrprzykład - otóż liczba 41²+41+41 (dla n=41) jest liczbą złożoną podzielną przez 41. Natomiast najmniejszą liczbą złożoną, która jest postaci n²+n+41, jest liczba 40²+40+41=41².

4) Kolejna nieprawdziwa teza brzmi: badając liczby postaci 991 n² + 1 przez wstawianie w miejsce n kolejnych liczb 1, 2, 3, 4,… nigdy nie otrzymamy liczby, która jest pełnym kwadratem to znaczy liczby dającej się zapisać w postaci k². Jednak założenie iż dla dowolnego n nie jest to możliwe, odnosi się jedynie do działań arytmetycznych będących w zakresie ludzkich możliwości, ponieważ dopiero przy
n=12055735790331359447442538767
otrzymamy liczbę, którą da się zapisać jako kwadrat innej liczby. W tym przypadku uprzednio postawiona hipoteza okazała się fałszywa.

Joanna Sokołowska IIa

Źródła;
https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba_pierwsza
http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/teoria_liczb/2012/03/27/Zlozony_problem_liczb_pierwszych/

METODA OKREŚLANIA ROKU PRZESTĘPNEGO

Obrót Ziemi wokół Słońca trwa 365 dni, 5 godzin, 48 minut i 46 sekund, czyli nieco dłużej niż zwykły rok kalendarzowy, liczący 365 dni. Aby wyrównać tę różnicę, przyjęto, że niektóre lata mają 366 dni. Nazywamy je latami przestępnymi. W roku przestępnym luty ma 29 dni.

W ten sposób można wyeliminować błąd spowodowany przez trzy normalne, lecz krótkie lata. Każdy rok, który jest podzielny przez 4 jest to rok przestępny: na przykład: 1988, 1992 i 1996 r. są przestępne.
Jednakże nadal istnieje mały błąd, który musi zostać uwzględniony. Aby wyeliminować ten błąd, kalendarz gregoriański stanowi, że rok, który daje się równo podzielić przez 100 (np. 1900) jest to rok przestępny tylko wtedy, gdy również daje się podzielić przez 400.
Z tego powodu następujące lata choć są podzielne przez 4, nie są latami przestępnymi: 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300, 2500, 2600. To dlatego, że da się je równo podzielić przez 100, ale nie są podzielne przez 400.

Następujące lata są latami przestępnymi: 1600, 2000, 2400. Jest tak, ponieważ są podzielne zarówno przez 100 jak i przez 400.

Poniżej przedstawiam krótką metodę, jak określić czy dany rok jest przestępny czy nie.

Wykonaj następujące kroki:
1. Jeśli rok jest podzielny przez 4, przejdź do kroku 2 w przeciwnym razie przejdź do kroku 5.
2. Jeśli rok jest daje się równo podzielić przez 100, przejdź do kroku 3 w przeciwnym razie przejdź do kroku 4.
3. Jeśli rok jest podzielny przez 400, przejdź do kroku 4 w przeciwnym razie przejdź do kroku 5.
4. Rok jest to rok przestępny (ma 366 dni).
5. Rok nie jest to rok przestępny (ma 365 dni).


Zuzanna Rosińska kl. I A

Stella Octangula

Podczas nauki geometrii w szkole poznajemy bryły o standardowej formie, ciekawostką jest jednak istnienie pewnych nietypowych figur geometrycznych zwanych wielościanami foremnymi lub bryłami platońskimi, ponieważ to Platon, jako pierwszy zbadał je oraz opisał. Taka figura musi spełniać trzy kryteria: ściany muszą być przystającymi wielokątami foremnymi, w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian oraz jest bryłą wypukłą. Wynikiem połączenia brył platońskich, są twory o osobliwym kształcie, a jednym z nich jest Stella Octangula. Posiada ona 36 krawędzi, 14 wierzchołków i 24 ściany będące trójkątami równobocznymi, ponadto spełnia ona dwa warunki konieczne do sklasyfikowania jej, jako wielościanu foremnego – ściany figury są przystającymi wielokątami foremnymi, a także w każdym jej wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian. Stella Octangula powstaje w wyniku odpowiedniego złączenia ze sobą dwóch czworościanów foremnych, które są najprostszą bryłą platońską, lub poprzez stellacje ośmiościanu foremnego. Proces stellacji można określić, jako "rozgwieżdżanie" lub stożkowanie, czyli przedłużanie ścian danego wielościanu aż do ich ponownego przecięcia. Na bazie wielościanu ulegającemu procesowi stożkowania, powstają inne wielościany, których przecinające się ściany, tworzą gwiaździstą strukturę.

Jak można zauważyć Stella Octangula jest trójwymiarowym odpowiednikiem gwiazdy Dawida, ze względu na analogie występujące między nimi. Gwiazda Dawida, jest połączeniem dwóch trójkątów równobocznych, które są do siebie symetryczne względem wspólnego środka, podczas gdy Stella jest również wynikiem zsumowania dwóch figur symetrycznych pod względem wspólnego środka, ale nie są to trójkąty równoboczne, jak w przypadku gwiazdy Dawida, a czworościany.

Siatka Stelli Octanguli

Pole całkowite Stelli Octanguli to suma 24 pól powierzchni trójkątów równobocznych.
Wzór na pole powierzchni Stelli Octanguli:

gdzie a oznacza długość krawędzi bryły.

Wzór na objętość Stelli Octanguli:

Źródła:
wikipedia.org
matematyka.wroc.pl

Joanna Sokołowska Ia

Symetria w przyrodzie

Symetria to słowo pochodzenia greckiego i oznacza regularny układ, harmonię
między częściami całości. Przejawy symetrii spotykamy w figurach geometrycznych, w przyrodzie nieorganicznej (np. w kryształach), w świecie roślinnym (układ liści, płatków kwiatowych), w świecie zwierzęcym w postaci rozmieszczenia zewnętrznych organów ciała, w budownictwie, w sztuce (ornamenty, desenie), w rzemiośle (koronki, hafty), w technice, słowem - wszędzie, bo symetria jest koniecznością
strukturalną organizmów i urządzeń.
Starożytni symetrią nazywali harmonijny układ części. Symetria była najbardziej podstawowym pojęciem ich estetyki; chodziło w niej o piękno. W tym znaczeniu także używał tego wyrazu Witruwiusz, rzymski architekt żyjący w I w p.n. e.

Symetria jest wszechobecna. W świecie przyrody ożywionej również nie jest przypadkiem. Zdarza się, że pomaga żyć. Jednym uchem nie dałoby się precyzyjnie zlokalizować źródła dźwięku, a jednym okiem dokładnie oszacować odległości. W świecie węży i jaszczurek na przykład pojawia się rozdwojony język, który pomaga tym zwierzętom wyczuwać „stereo” różne smaki.

Istnieje kilka rodzajów symetrii, min.:.

Symetria płaszczyznowa, gdzie płaszczyzna dzieli figurę, (przedmiot, organizm) na 2 części, w świecie zwierząt zwana symetrią dwuboczną: zjawisko doskonale zaobserwowane np. u biedronki. Symetria dwuboczna wykształciła się w związku z aktywnym ruchem. Jest charakterystyczna dla większości zwierząt. U zwierząt dwubocznie symetrycznych można wyróżnić przód, gdzie kształtuje się głowa i tył ciała oraz stronę grzbietową i brzuszną.

Symetria osiowa występująca np. u motyla.

Symetria promienista, charakteryzująca się dużą liczbą płaszczyzn symetrii przebiegających przez figurę (przedmiot, organizm) wzdłuż jednej osi głównej jak np.
u płatka śniegu, kwiatu, blaszek grzyba, rozgwiazdy.

Symetria i asymetria ludzkiego ciała
U człowieka w okresie zarodkowym jedna połowa ciała jest lustrzanym odbiciem drugiej, a symetria dotyczy w znacznym stopniu także narządów wewnętrznych. Niewielka asymetria zewnętrznej budowy ciała człowieka jest normą.

Tą krótką informacją chciałam podkreślić znaczenie symetrii w otaczającej nas przyrodzie i jednocześnie przypomnieć wszystkim, że matematyka jest wszechobecna! Czy nam się to podoba czy nie.

Zuzanna Rosińska kl. Ia

Źródła:
http://www.matgimbolkow.ssl2.pl/
http://www.matematyka.wroc.pl/
http://www.wikipedia.pl/

Na wyciągnięcie ręki

Większość najwcześniejszych systemów pomiarowych począwszy od chińskich skończywszy na stosowanych w prekolumbijskiej Ameryce opierała się na wymiarach ludzkiego ciała albo znanych przedmiotów - na przykład ziaren pszenicy. Amerykanie i starsi wiekiem Brytyjczycy nadal podają niewielkie odległości w stopach, a angielskie słowo „grain” oznacza ziarnko albo gram - jednostkę masy równą masie ziarna jęczmienia. Ta miara pozostaje niezmienna od ponad tysiąca lat. Karat, jednostka masy używana do pomiaru złota i kamieni szlachetnych, wywodzi swoją nazwę od owoców drzewa szarańczynu znanego też jako karob albo chleb świętojański. Arabscy złotnicy stosowali je do ważenia metali szlachetnych oraz kamieni jubilerskich. Ziarna karobu mają bardzo zbliżoną masę i dlatego nadają się idealnie do ważenia kosztowności.
Łokieć - jednostka długości używana w starożytnym Egipcie i wspomniana w Starym Testamencie (podano w niej wymiary arki Noego) to odległość od łokcia do czubka palców. Dzielił się na inne jednostki, także związane z częściami ciała.
1 łokieć = 28 cali
4 cale = 1 dłoń
5 cali = 1 ręka
12 cali = jedna mała piędź
14 cali = jedna duża piędź
Jednak ciało ludzkie nie za rozmaite kształty i rozmiary, więc „ręka” jednego człowieka może nie odpowiadać „dłoni” innego. By pokonać oczywiste trudności i nie dopuścić do sporu, należało wprowadzić miary wzorcowe. Stosowane w Egipcie kije długości łokcia odpowiadały królewskiej, standardowej normie, wykonanej z czarnego granitu i mającej 524 mm długości. Pozwoliło to skutecznie ujednolicić system.

Źródła:
Grafika Google
„Fascynująca Matematyka” Anne Rooney, wydawnictwo Bellona

Weronika Krysiak 1A

Wzory i symetria - podstawą geometrii

Geometria znana była jeszcze wcześniej niż zapis liczb. Wiele dawnych ludów pozostawiło po sobie ślady zainteresowania powtarzalnymi wzorami, symetrią, kształtami - w formie wzorów geometrycznych ozdabiających przedmioty, budowle oraz mieszkania. Niektóre powstały 25 tysięcy lat przed naszą erą. Dawne konstrukcje, zbudowane lub ustawione z niezwykłą precyzją, są dowodem na to, jak nasi przodkowie pojmowali geometrię w jej najprostszej postaci.
Podczas realizacji projektów budowlanych ludzie musieli rozwiązywać praktyczne zadania geometryczne na długo zanim zostały one zapisane. Sumerowie, Babilończycy i Egipcjanie nabrali dużej biegłości w pracy z figurami dwuwymiarowymi oraz trójwymiarowymi bryłami podczas obliczania odległości powierzchni i objętości. Dokumenty pochodzące z 3100 roku przed naszą erą dowodzą, że Egipcjanie i Babilończycy już wówczas posługiwali się regułami matematycznymi, aby mierzyć pojemność magazynową, powierzchnię ziemi i planować budynki. Wielka piramida w Gizie powstała około roku 2650 przed Chrystusem i stanowi dowód na to, że Egipcjanie doskonale radzili sobie z geometrią. Grecki historyk Herodot podaje, że Egipcjanie musieli nauczyć się obliczać powierzchnie, ponieważ sezonowe wylewy Nilu nieustannie niszczyły granice między posiadłościami. Potrzebowano punktu odniesienia oraz technik pomiarowych, aby prawidłowo wyznaczać linie graniczne. O egipskich geometrach mówiono niekiedy „rozciągacze sznurów” - z powodu sposobu, w jaki odmierzali i wyznaczali odległości i kształty za pomocą lin. Bez wątpienia do odmierzania zalanych terenów stosowano tę samą technikę co do realizacji projektów budowlanych.

Źródła:
„Fascynująca Matematyka” Anne Rooney, wydawnictwo Bellona
Grafika Google

Weronika Krysiak 1A

Tyle hałasu o nic

Koncepcja zera może brzmieć jak antyteza liczenia. Skoro zero było jedynie nieobecnością liczonych przedmiotów, nie potrzebowało własnego oznaczenia symbolicznego. A jednak potrzebowało symbolu - kiedy pojawiły się pozycyjne systemy liczbowe. Początkowo miejsce niezajęte przez żadną cyfrę pozostawało puste lub oznaczano je kropką - tak było w Babilonii od połowy drugiego tysiąclecia przed naszą erą. Majowie mieli zero, które przedstawiał rysunek muszli. Choć posługiwano się zerem co najmniej 36 roku p.n.e., nie wywarło ono wpływu na matematykę Starego Świata. Być może właśnie mieszkańcy Ameryki Środkowej byli pierwszymi ludźmi, którzy zaczęli stosować jakąś formę zera.
Do współczesnego świata zero przywędrowało z Indii. Najstarszym znanym tekstem, w którym pojawia się zero jest pochodzący z 458 roku naszej ery traktat wyznawców Dźinizmu – Lokavibhaaga. W Brahmasphutasiddhanta Brahmagupta podał zasady zastosowań zera w arytmetyce – stwierdził na przykład, że mnożenie liczby przez zero daje zero. Praca Brahmagupty jest najstarszym znanym tekstem, w którym zero zostało uznane za pełnoprawną liczbę. Współczesna nazwa – zero – pochodzi od arabskiego słowa zephirum, przyjętego najpierw w języku weneckim (którym mówili mieszkańcy włoskiej Wenecji). Wenecki matematyk Luca Pacioli (1445-1514 lub 1517) jako pierwszy Europejczyk napisał tekst, w którym zero zostało użyte poprawnie. Choć historycy nie liczą „roku zerowego” między 1 rokiem przed naszą erą i 1 rokiem naszej ery, astronomowie zazwyczaj stosują go do obliczeń.

Żródła:
Grafika Google
„Fascynująca Matematyka” Anne Rooney, wydawnictwo Bellona
http://www.math.edu.pl/liczba-zero

Weronika Krysiak 1A

Czy nigdy nie zastanawiało Was jak powstała liczba pi (ludolfina)?

Już od najdawniejszych lat (starożytność) rachmistrze zauważyli to, że wszystkie koła mają coś wspólnego. Ich średnice i obwody miały zazwyczaj ten sam stosunek równy, miej więcej, liczbie 3.
W Starym Testamencie obwód był trzykrotnością średnicy, a na papirusie Rhinda wartość ta miała mieć ~3,160493.
Nawet Archimedes zastanawiał się nad owym działaniem a pisał on tak:

W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych.

Według niego liczba, o której wszystkim chodziło była między 3+1071 i 3+17.

Właśnie takie przemyślenia zazwyczaj rozpoczynały badania nad danym zjawiskiem matematycznym, było tak i w tym przypadku. W każdym wieku znalazł się uczony zainspirowany liczbą pi i w ten sposób znamy coraz dalsze jej rozwinięcia i zastosowania.

Co możemy, więc powiedzieć o tej liczbie?

π - stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415...

Co ciekawe?…

• Liczba π ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni Dzień Liczby π (14 marca).
• Tworzone są też wierszyki i opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π.

Przedstawię tu Wam jedno z owych dzieł poświęconych temu zjawisku:

Kuć i orać w dzień zawzięcie,
Bo plonów niema bez trudu!
Złocisty szczęścia okręcie,
Kołyszesz...
Kuć! My nie czekajmy cudu.
Robota to potęga ludu!

Kazimierz Cwojdziński

• Organizowane są nawet konkursy dotyczące zapamiętania owej liczby. Dotychczasowy rekord należy do Japończyka, Akiry Karaguchi. Podał ją z dokładnością do 100 tysięcy miejsc po przecinku, bijąc tym samym własny rekord z roku 1995.
• Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos a rozpowszechnił go później Leonhard Euler.
• Nazwa „ludolfina” pochodzi od imienia Ludolfa van Ceulena, który w 1610 roku obliczył wartość liczby Pi z dokładnością do 35 cyfr po przecinku.
• Uczeni, szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby Pi. Wierzyli, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat. Czyż to nie zabawne?

Źródła:
http://www.math.edu.pl/
http://pl.wikipedia.org/
http://www.serwis-matematyczny.pl/


Judyta Sewera 1A

Co to jest Googol?

Myślicie, że to coś związane z literaturą i słynnym rosyjskim pisarzem i poetą Mikołajem Gogolem? Niestety nie. A może z Internetem i z popularną przeglądarką? Nie do końca ale związek jest, napiszę o tym jednak na końcu.
Otóż Googol to termin matematyczny i powstał w bardzo banalny sposób.
Otóż nazwę tę wymyślił w 1938 roku dziewięcioletni Milton Sirotta, siostrzeniec amerykańskiego matematyka Edwarda Kasnera, który zapytany przez swego wujka o nazwę dla bardzo dużej liczby, odpowiedział mu „googol”. Prawda, że banalne? Nie ulega jednak wątpliwości, iż termin ten okazał się niezbędny do określenia właśnie niewyobrażalnie dużej liczby zbliżającej nas do nieskończoności - jeśli jest to w ogóle możliwe.
Pan Edward Kasner ogłosił to pojęcie w swojej książce Matematyka i wyobraźnia (1940) i od tamtej pory to trywialne słowo użyte przez dziecko stało się oficjalnym terminem matematycznym uznawanym przez najmądrzejszych naukowców tego świata.
A teraz kilka słów jaką wartość ma googol. Niewyobrażalną!!
Otóż googol to 10 do potęgi 100.
Liczba jak liczba, nie wygląda imponująco dla laika jeśli jednak zapiszemy ją w ten sposób:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
to wrażenie odnosi się nieco inne.

Przypuśćmy, że cała Ziemia zbudowana jest z piasku, wówczas liczba wszystkich ziarenek będzie rzędu 10 do potęgi 31; daleko jeszcze do googola!
Zgodnie z pewną teorią astronomiczną wszechświat jest skończony i ma średnicę 10 do potęgi 42 razy większą od średnicy jądra atomowego. Wciąż daleko do googola!
Okazuje się że, googol jest większy niż liczba atomów w znanym nam Wszechświecie, oceniana na około 10 do potęgi 80.
Googol nie odpowiada, więc żadnej rzeczywistej ilości. Niczego aż tyle nie ma. Liczba 10 do potęgi 100 nie przedstawia nic wyobrażalnego, przekracza ona wszystko, co można policzyć lub zmierzyć na świecie. Dacie wiarę?
Matematycy nie byliby jednak sobą, gdyby nie spróbowali zapisać jeszcze większej liczby.
Tak powstał GoogolPlex, którego wartość to:
10 do potęgi Googol, czyli to liczba, której zapis dziesiętny składa się z jedynki i googola zer, czyli:
10 do potęgi 10 do potęgi 100.

Wybaczcie, nie pokuszę się jednak o zapisanie tej liczby ze wszystkimi zerami.

Na koniec jeszcze ciekawostka, o której wspomniałam na wstępie:
Nazwa wyszukiwarki internetowej Google faktycznie ma związek z liczbą googol. Szukając nazwy dla nowego przedsięwzięcia Larry Page poprosił kolegę z pokoju Seana Andersona o wypisywanie typów na tablicy. Przy którejś z sesji padła nazwa GoogolPlex. Sean natychmiast sprawdził domenę w skróconej formie w Internecie i zarejestrował. Popełnił jednak błąd wpisując znane wszystkim google.com, zamiast googol.com, która była już w tym czasie zarejestrowana
Jak widać nie wszystko jest dziełem przypadku.

Zuzanna Rosińska klasa Ia

Źródło:
www.math.edu.pl
blog: zukiewicz.com.pl

System dwójkowy zwany też binarnym.

W układzie dwójkowym, w którym podstawą jest liczba 2 do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa zawiera same zera i jedynki – znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem.
W Europie system dwójkowy pojawił się pierwszy raz w zapiskach angielskiego astronoma i geografa Thomasa Hariota (1560-1621), następnie Francis Bacon (1561-1622), kanclerz angielski, używał szyfru dwuliterowego stosując litery A i B, z których budował pięcioznakowe ciągi. Dużego postępu w badaniach systemu dwójkowego dokonał Gotfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Leibniz zajmował się niemal wszystkim, rozpoczynając od stworzenia rachunku różniczkowego, idei „calculemus” po opracowanie teorii monad, prawa ciągłości, zasady racji dostatecznej i w końcu kodu binarnego.
Leibniz był zafascynowany własnościami i możliwościami systemu binarnego. Ideę zapisu binarnego Leibniz przejął z Chin. Symbole 0 i 1 rozumiał, jako podstawowe symbole systemu liczbowego. To on opracował reguły działań binarnych, wyjaśnił jak można mechanicznie dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić liczby binarne i stworzył projekt maszyny „binarnej”.
Zaletą systemu dwójkowego w opinii Leibniza jest łatwość wykonywania operacji arytmetycznych. Operacje są tak proste, że nigdy nie musimy zgadywać albo postępować metodą prób i błędów, co ma miejsce w przypadku zwykłego dzielenia. Leibniz wskazuje na praktyczne wykorzystanie systemu binarnego w ważeniu i jego zastosowanie w systemie monetarnym Kodem binarnym posługują się też Murzyni w buszu stosując do komunikowania tam-tamy.
W latach czterdziestych XX wieku opracowywano teoretyczne podstawy działania maszyn cyfrowych i zwrócono uwagę na system binarny. Słowo bit po raz pierwszy pojawiło się w literaturze informatycznej w roku 1948 w pracach znanego teoretyka informatyki Claude'a Shannona, który przyznał, iż zapożyczył ten termin od naukowca Johna Turkey'a . Bit powstał w trakcie drugiego śniadania, gdy John obmyślał zgrabne terminy dla pojęcia cyfry dwójkowej (binary digit).

ŹRÓDŁA: http://pl.wikipedia.org/wiki/Dw%C3%B3jkowy_system_liczbowy

http://www.math.edu.pl/system-binarny

http://www.computerworld.pl/artykuly/316592/Matematyka.i.metafizyka.html

http://kft.umcs.lublin.pl/baran/epk/history2.html

KORNELIA JAKÓBIEC 1C

Zapraszamy do publikowania na blogu

W imieniu nauczycieli XXI LO witam wszystkich uczniów XXI LO na szkolnym blogu matematycznym, którego ideą przewodnią jest popularyzowanie matematyki i zapraszam do jego współtworzenia.

Postarajmy się podejść do matematyki w sposób humanistyczny i odkryć, jakie powody, cele czy praktyczne potrzeby stały za wymyśleniem pojęć, które dziś uważamy za abstrakcyjne. 

Czy nigdy nie zadaliście sobie pytania:

Skąd wzięły się ułamki?
Do czego przydało się Talesowi jego twierdzenie?
Co to jest złoty podział i gdzie go można spotkać?
Jak powstała cyfra zero?
Co to jest system stałopozycyjny i kiedy go wymyślono?
Jak odkryto liczby niewymierne? 
Jak powstała liczby pi? 
Jak powstał pierwiastek z dwóch?
Co to są bryły platońskie?

Proponuję, żebyśmy na tym blogu odpowiedzieli sobie na te i jeszcze wiele innych pytań. 
Jeśli ciekawią Was inne matematyczne zagadnienia, to w tym miejscu możecie podzielić się nimi z innymi  i wspólnie poszukać odpowiedzi.

Spróbujmy zbudować galerię sławnych matematyków, których  dokonania były kamieniami milowymi w rozwoju matematyki. Poznajmy nazwiska tych, przez których cierpią kolejne pokolenia uczniów.
Postarajmy się zgromadzić jak największą bazę informacji o interesujących filmach i książkach popularyzujących matematykę.
Matematyka była i jest inspiracją nie tylko dla myślicieli, ale i dla poetów.  Odkryjmy i to jej oblicze. 
Czekam na Wasze propozycje do zakładek "Wielcy matematycy", "Ciekawie o  matematyce" i "Złote myśli, fraszki, etc."  Mile widziane będą krótkie notki o matematykach i ich największych odkryciach, recenzje książek czy filmów, krótkie utwory inspirowane matematyką.  
Każda osoba, która będzie chciała opublikować materiał na blogu, proszona jest o kontakt z administratorem w celu zamieszczenia tekstu.

Katarzyna Swojnóg